已知抛物线y=1/2X^2与过点M（0,1)的直线l相交于A、B抛物线y=-x^2/2与过点M(0,-1)的直线l相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之和为1,求直线l的方程

Question

已知抛物线y=1/2 X^2与过点M（0,1)的直线l相交于A、B
抛物线y=-x^2/2与过点M(0,-1)的直线l相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之和为1,求直线l的方程

Answer 1

设 A,B 两点坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,
则有,y1= -x1^2/2,y2= -x2^2/2,
直线AB的斜率为 K=（y2 - y1）/（x2-x1）,
y2-y1=(-x1^2)/2-(-x2^2)/2 = 1/2(x1-x2)(x1+x2) =-1/2(x2-x1)(x2+x1)
所以 （y2 - y1）/（x2 - x1）= -1/2(x2 + x1)
下面只要求出 x1+x2即可,
因为 A,B两点斜率之和为1,所以,y1/x1 + y2/x2 =1 ,所以,（-1/2x1^2）/x1 + （-1/2x2^2）/x2=1
整理的 x1 + x2 = -2,
所以直线斜率为K =（y2 - y1）/（x2 - x1）= -1/2(x2 + x1) = 1,
所以设直线方程为 y= 1*x + b,
代入（0,-1）得 b=-1,
所以方程为 y= x -1