已知动点P在抛物线x2=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足PQ=12PH．（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）点M（-4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的

Question

已知动点P在抛物线x²=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足

PQ

=(1)/(2)

PH

．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）点M（-4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

（1）设点Q（x，y），由

PQ

=(1)/(2)

PH

，则点P（x，2y），
将点P（x，2y）代入x²=2y得x²=4y．
∴动点Q的轨迹E的方程为x²=4y．
（2）设过点N的直线方程为y=k（x-4）+5，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-4)+5

x2=4y

，得x²-4kx+16x-20=0，
则

x1+x2=4k

x1x2=16k-20

．
∵k1=(y1-4)/(x1+4)，k2=(y2-4)/(x2+4)，
∴k1k2=((kx1-4k+1)(kx2-4k+1))/((x1+4)(x2+4))=(k2x1x2+(k-4k2)(x1+x2)+16k2-8k+1)/(x1x2+4(x1+x2)+16)
=(1-8k)/(32k-4)=-(1)/(4)．