在△∠ABC中,∠ACB=90°,∠B=45°且AC=BC,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线交AB于点E,交AD于点F,连结DE,求证∠ADC=∠BDE

Question

在△∠ABC中,∠ACB=90°,∠B=45°且AC=BC,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线交AB于点E,
交AD于点F,连结DE,求证∠ADC=∠BDE

Answer 1

◆ 利用旋转构造全等三角形.
证明:作BG⊥BC,交CF的延长线于G.
∵AC⊥BC;AD⊥CF.
∴∠CAD=∠DCF.(均为∠ADC的余角);
又AC=BC;∠ACD=∠CBG=90°.
则⊿ACD≌⊿CBG(ASA),BG=BD=DC;∠G=∠ADC;
又BE=BE;∠DBE=∠GBE=45°.故ΔBED≌ΔBEG(SAS),∠BDE=∠G.
∴∠ADC=∠BDE.(等量代换)