如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．

Question

如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，
求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．

Answer 1

连接OS、OT、OM．
∵M是ST的中点，
∴OM⊥ST．
又SP⊥AB，
∴S、P、O、M四点共圆，
∴∠SPM=∠SOM．
∵OS=OT，OM⊥ST，
∴∠SOM=(1)/(2)∠SOT，
∴∠SPM=∠SOM=(1)/(2)∠SOT．
故不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．