如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由

Question

如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；
（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为______．
（3）如图2，若直线AD被截成的线段AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，又S_△ABM=S₁，S_△ACM=S₂，求S₂-S₁的值．（用含有a，b，c的代数式表示）
（4）如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可）

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°
∴∠EAC=∠B
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD．

（2）CE=DE+BD．理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中
∵

∠ABD＝∠CAE

∠ADB＝∠AEC

AB＝AC

，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD=AE+DE，
∴AD=BD+DE．
∴CE=BD+DE；

（3）∵AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=a，CE=AD=a+b+c
又∵S_△ABM=S₁，S_△ACM=S₂，
∴S₁=(1)/(2)AM•BD=(1)/(2)a（a+b），S₂=(1)/(2)AM•CE=(1)/(2)（a+b）（a+b+c），
∴S₂-S₁=(1)/(2)（a+b）（a+b+c）-(1)/(2)a（a+b）=(1)/(2)（a+b）（b+c）=(1)/(2)ab+(1)/(2)ac+(1)/(2)bc+(1)/(2)b²；

（4）①当0≤t＜(28)/(3)时，点P在AB上，点Q在AC上，
此时有BF=2t，CG=3t，AB=22，AC=28．
当PA=QA即22-2t=28-3t，也即t=6时，
∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC=90°，
∴∠PFA=∠QGA=∠BAC=90°．
∴∠PAF=90°-∠GAQ=∠AQG．
在△PFA和△QAG中，
√(∠PFA＝∠QGA∠PAF＝∠AQGPA作业帮用户2016-12-08问题解析（1）根据∠ADB=∠AEC=90°，求得∠EAC=∠ABD，用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE（2）由于BD⊥AD，CE⊥AD，则∠ADB=∠AEC=90°，得到∠ABD+∠BAD=90°，而∠BAD+∠EAC=90°，则∠ABD=∠EAC，加上AB=AC，根据全等三角形的判定得到可得△ABD≌△ACE，利用全等的性质得BD=AE，AD=CE，由AD=AE+DE，即可得到CE=DE+BD．（3）根据三角形的面积公式即可求得；（4）易证∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA与△QAG全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题．名师点评本题考点：全等三角形的判定与性质．考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式的应用以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)