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我们知道,正方形的四条边相等,四个角也都等于90°.如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=5;下列结论:①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2934349b033b5bb5407edf4835d3d539b700bcdf.jpg)
5 |
①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到直线AE的距离为
2 |
1+
| ||
2 |
其中正确结论的序号是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②⑨④
▼优质解答
答案和解析
①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/359b033b5bb5c9ea9f5afc55d639b6003bf3b3df.jpg)
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∵在△APD和△AEB中,
,
∴△APD≌△AEB(SAS);
故此选项成立;
②∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED;
故此选项成立;
③过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE=
=
=
,
∴BF=EF=
,
∴点B到直线AE的距离为
.
故此选项不正确;
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6609c93d70cf3bc76c8b325ad200baa1cc112af9.jpg)
∵AE=AP=1,
∴EP=
,
又∵PB=
,
∴BE=
,
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
,
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=
S正方形ABCD-
×DP×BE=
×(4+
)-
×
×
=
+
.
故此选项不正确.
∴正确的有①②④,
故选B.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/359b033b5bb5c9ea9f5afc55d639b6003bf3b3df.jpg)
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∵在△APD和△AEB中,
|
∴△APD≌△AEB(SAS);
故此选项成立;
②∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED;
故此选项成立;
③过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE=
BP2−PE2 |
5−2 |
3 |
∴BF=EF=
| ||
2 |
∴点B到直线AE的距离为
| ||
2 |
故此选项不正确;
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6609c93d70cf3bc76c8b325ad200baa1cc112af9.jpg)
∵AE=AP=1,
∴EP=
2 |
又∵PB=
5 |
∴BE=
3 |
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
3 |
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
6 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
故此选项不正确.
∴正确的有①②④,
故选B.
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