我们知道，正方形的四条边相等，四个角也都等于90°．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=5；下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到

Question

我们知道，正方形的四条边相等，四个角也都等于90°．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=√(5)；下列结论：
①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为√(2)；④S△APD+S△APB＝(1+√(6))/(2)．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②⑨④

Answer 1

①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，

AE＝AP 

∠EAB＝∠PAD 

AB＝AD 

，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=√(BP2−PE2)=√(5−2)=√(3)，
∴BF=EF=(√(6))/(2)，
∴点B到直线AE的距离为(√(6))/(2)．
故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=√(2)，
又∵PB=√(5)，
∴BE=√(3)，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=√(3)，
∴S_△ABP+S_△ADP=S_△ABD-S_△BDP=(1)/(2) S_{正方形ABCD}-(1)/(2)×DP×BE=(1)/(2)×（4+√(6) ）-(1)/(2)×√(3)×√(3)=(1)/(2)+(√(6))/(2)．
故此选项不正确．
∴正确的有①②④，
故选B．