已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=f(x1)-f(x2)x1-x2，n=g(x1)-g(x2)x1-x2．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、

Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=x²+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x₁、x₂，设m= (f(x1)-f(x2))/(x1-x2)，n= (g(x1)-g(x2))/(x1-x2)．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x₁、x₂，都有m>0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x₁、x₂，都有n>0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x₁、x₂，使得m=-n．
其中的真命题有___（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

对于①，由于2>1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m>0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（-∞，-(a)/(2)）递减，在（-(a)/(2)，+∞）递增，则n>0不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x₁）-f（x₂）=g（x₁）-g（x₂），即为g（x₁）-f（x₁）=g（x₂）-f（x₂），
考查函数h（x）=x²+ax-2^x，h′（x）=2x+a-2^xln2，
当a→-∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=-n，可得f（x₁）-f（x₂）=-[g（x₁）-g（x₂）]，考查函数h（x）=x²+ax+2^x，
h′（x）=2x+a+2^xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．
故答案为：①④．