海莱定理下面的定理怎么证明：在平面内有若干个（可以是无穷个）凸集,其中任意三个有一个公共点,则这所有的集至少有一个公共点.有限个的时候我早就证明了，我想知道的正是有无限个

Question

海莱定理
下面的定理怎么证明：
在平面内有若干个（可以是无穷个）凸集,其中任意三个有一个公共点,则这所有的集至少有一个公共点.
有限个的时候我早就证明了，我想知道的正是有无限个，甚至是不可列的情况！

Answer 1

我们只来证明当这组凸集的个数是有限多的时候的情况,当凸集的个数是无穷多的时候需要用到一些高等数学的知识.这个结论被称之为Helly定理,它是欧式组合几何中的最重要的结论之一.
为了证明这个结论,我们首先证明一个叫做Radon定理得结论：
如果平面上有n个点,其中n>3,那么一定可以把他们分成两组A,B并且A和B的凸包有交点.
这个结论的证明非常简单.首先任取4个点,x,y,z,w.如果这4个点的凸包就是这4点组成的四边形,那么,A={x,y},B为z,w以及其余点的集合,显然A的凸包和B的凸包有交点.如果x,y,z,w这4个点的凸包不是四边形,而是三角形或者直线或者一个点,那么一定有一点,比如x在y,z,w的凸包之中,取A={x},B为其余的点的集合,那么显然A的凸包和B的凸包也有交点.
现在我们可以证明Helly定理了.我们首先证明如果这些凸集的任何n-1个都有交点,那么这些凸集的任何n个都有交点.如果这个结论正确,那么归纳法可以证明整个结论.
令A1,A2,...,An为n个凸集.而 x1 为A2,A3,...,An 的交点,但是可能不在A1中；同样x2为A1,A3,...,An的交点,但可能不在A2中,等等,
最后xn 为A1,A2,...,An-1的交点.
现在考虑集合 {x1,x2,...,xn}
根据Radon定理,我们可以把这个集合分成两个子集,他们的凸包有交点,这样,这个交点就在所有的凸集A1,A2,...,An的交集中