如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点A（0，-1），且离心率为22．（1）求a的值；（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的

Question

如图，椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）经过点A（0，-1），且离心率为(√(2))/(2)．

（1）求a的值；
（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．

Answer 1

（1） ∵椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）经过点A（0，-1），且离心率为(√(2))/(2)，
∴b=1，(c)/(a)=(√(2))/(2)，
∴c=1，a=√(2)．
（2）证明：由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠2），
代入(x2)/(2)+y²=1，得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0．
由已知△>0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
则x₁+x₂=(4k(k-1))/(1+2k2)，x₁x₂=(2k(k-2))/(1+2k2)
从而直线AP，AQ的斜率之和
k_AP+k_AQ=(y1+1)/(x1)+(y2+1)/(x2)=(kx1+2-k)/(x1)+(kx2+2-k)/(x2)
=2k+（2-k）(x1+x2)/(x1x2)
=2k+（2-k）(4k(k-1))/(2k(k-2))=2k-2（k-1）=2．
所以直线AP、AQ斜率之和为定值2．