如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为22.(1)求a的值;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的
如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.
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(1)求a的值;
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
答案和解析
(1) ∵椭圆E:
+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为,
∴b=1,=,
∴c=1,a=.
(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),
代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.
由已知△>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
则x1+x2=,x1x2=
从而直线AP,AQ的斜率之和
kAP+kAQ=+=+
=2k+(2-k)
=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.
所以直线AP、AQ斜率之和为定值2.
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