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在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-6,6),以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点(B在C左面),且∠BAC=45°.(1)如图1,连接OA,当AB=AC时,试说明:OA=OB.(2)过点A作AD⊥x轴,
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在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-6,6),以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点(B在C左面),且∠BAC=45°.
(1)如图1,连接OA,当AB=AC时,试说明:OA=OB.
(2)过点A作AD⊥x轴,垂足为D,当DC=2时,将∠BAC沿AC所在直线翻折,翻折后边AB交y轴于点M,求点M的坐标.
(1)如图1,连接OA,当AB=AC时,试说明:OA=OB.
(2)过点A作AD⊥x轴,垂足为D,当DC=2时,将∠BAC沿AC所在直线翻折,翻折后边AB交y轴于点M,求点M的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵AB=AC,∠BAC=45°,
∴∠ABC=∠ACB=67.5°.
过点A作AE⊥OB于E,
则△AEO是等腰直角三角形,∠EAO=45°.
∵AB=AC,AE⊥OB,
∴∠BAE=
∠BAC=22.5°.
∴∠BAO=67.5°=∠ABC,
∴OA=OB.
(2)设OM=x.
当点C在点D右侧时,连接CM,过点A作AF⊥y轴于点F,
由∠BAM=∠DAF=90°,
可知:∠BAD=∠MAF;
∴在△BAD和△MAF中,
,
∴△BAD≌△MAF.
∴BD=FM=6-x.
又∵AC=AC,∠BAC=∠MAC,
∴△BAC≌△MAC.
∴BC=CM=8-x.
在Rt△COM中,由勾股定理得:
OC2+OM2=CM2,即42+x2=(8-x)2,
解得:x=3,
∴M点坐标为(0,3).
当点C在点D左侧时,连接CM,过点A作AF⊥y轴于点F,
同理,△BAD≌△MAF,
∴BD=FM=6+x.
同理,
△BAC≌△MAC,
∴BC=CM=4+x.
在Rt△COM中,由勾股定理得:
OC2+OM2=CM2,即82+x2=(4+x)2,
解得:x=6,
∴M点坐标为(0,-6).
∴∠ABC=∠ACB=67.5°.
过点A作AE⊥OB于E,
则△AEO是等腰直角三角形,∠EAO=45°.
∵AB=AC,AE⊥OB,
∴∠BAE=
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∴∠BAO=67.5°=∠ABC,
∴OA=OB.
(2)设OM=x.
当点C在点D右侧时,连接CM,过点A作AF⊥y轴于点F,
由∠BAM=∠DAF=90°,
可知:∠BAD=∠MAF;
∴在△BAD和△MAF中,
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∴△BAD≌△MAF.
∴BD=FM=6-x.
又∵AC=AC,∠BAC=∠MAC,
∴△BAC≌△MAC.
∴BC=CM=8-x.
在Rt△COM中,由勾股定理得:
OC2+OM2=CM2,即42+x2=(8-x)2,
解得:x=3,
∴M点坐标为(0,3).
当点C在点D左侧时,连接CM,过点A作AF⊥y轴于点F,
同理,△BAD≌△MAF,
∴BD=FM=6+x.
同理,
△BAC≌△MAC,
∴BC=CM=4+x.
在Rt△COM中,由勾股定理得:
OC2+OM2=CM2,即82+x2=(4+x)2,
解得:x=6,
∴M点坐标为(0,-6).
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