已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB=30°动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q，（1）当点P，运动到Q、C两点重

Question

已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B ，直线 AO 交圆 O 于 C 、 D 两点， CD ＝ 2 ，∠ DAB=30 ° 动点 P 在直线 AB 上运动， PC 交圆 O 于另一点 Q ，

（ 1 ）当点 P ，运动到 Q 、 C 两点重合时（如图 1 ），求 AP 的长。

（ 2 ）点运动过程中，有几个位置（几种情况）使△ CQD 的面积为 ? （　直接写出答案）

（ 3 ） 当 使△ CQD 的面积为 ，且 Q 位于以 CD 为直径的的上半圆上， CQ ＞ QD 时（如图 2 ），求 AP 的长。

 

Answer 1

（ 1 ）本小问是利用切线的性质，得到∠ ACP ＝ 90 °， CD ＝ 2 ，得到半径的长度： OD ＝ OC ＝ OB

从而利用解直角三角形的方法来解得 AP 的长度。

∵ AB 是圆 O 的切线

∴∠ OBA ＝ 90 °

∵ ABC 中， CD ＝ 2 ， ∠ DAB=30 °

∴ OB ＝ 1

∴ OB ＝ OC ＝ AC ＝ 1

∵ 当点 P ，运动到 Q 、 C 两点重合时

∴ PC 为圆 O 的切线

∴∠ PCA ＝ 90 °

∵ ∠ DAB =30 °， AC ＝ 1

∴ AP ＝

（ 2 ）利用三角形的面积公式，知底和积可求高，然后用平行线去截圆，即可以得到解。

由于 CD 的长度 2 ，而 S △ CQD ＝ ，故 CD 上的高的长度为： ，从而如图，我们可得到答案：

（ 3 ）利用 S △ CQD ＝ ，求出 CD 上的高 QN 的长度，过点 PM ⊥ AD 于点 M ，

然后利用相似△ QCN ∽△ DQN 求出 CN 的长度，再次利用相似△ PMC ∽△ QNC ，从而得到 MC 与 MP 的关系，由 已知易知 AM ＝ ，由 AC ＝ 1 ，从而可以解出 MP ，从而求出 AP 的长度。