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(2014•白银)如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M、A、B坐标;
题目详情
(2014•白银)如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.
(1)求点M、A、B坐标;
(2)联结AB、AM、BM,求∠ABM的正切值;
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.
(1)求点M、A、B坐标;
(2)联结AB、AM、BM,求∠ABM的正切值;
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3,
顶点M(1,-3),
令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,
点A(0,-2),
x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,
点B(3,1);
(2)过点B作BE⊥AO于E,过点M作MF⊥AO于M,
∵EB=EA=3,
∴∠EAB=∠EBA=45°,
同理可求∠FAM=∠FMA=45°,
∴△ABE∽△AMF,
∴
=
=
,
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°,
∴tan∠ABM=
=
;
(3)过点P作PH⊥x轴于H,
∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,
∴设点P(x,x2-2x-2),
①点P在x轴的上方时,
=
,
整理得,3x2-7x-6=0,
解得x1=-
(舍去),x2=3,
∴点P的坐标为(3,1);
②点P在x轴下方时,
=
,
整理得,3x2-5x-6=0,
解得x1=
(舍去),x2=
,
x=
时,x2-2x-2=-
×
顶点M(1,-3),
令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,
点A(0,-2),
x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,
点B(3,1);
(2)过点B作BE⊥AO于E,过点M作MF⊥AO于M,
∵EB=EA=3,
∴∠EAB=∠EBA=45°,
同理可求∠FAM=∠FMA=45°,
∴△ABE∽△AMF,
∴
AM |
AB |
AF |
AE |
1 |
3 |
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°,
∴tan∠ABM=
AM |
AB |
1 |
3 |
(3)过点P作PH⊥x轴于H,
∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,
∴设点P(x,x2-2x-2),
①点P在x轴的上方时,
x2−2x−2 |
x |
1 |
3 |
整理得,3x2-7x-6=0,
解得x1=-
2 |
3 |
∴点P的坐标为(3,1);
②点P在x轴下方时,
−(x2−2x−2) |
x |
1 |
3 |
整理得,3x2-5x-6=0,
解得x1=
5−
| ||
6 |
5+
| ||
6 |
x=
5+
| ||
6 |
1 |
3 |
5+
|
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