（2014•绵阳三模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=12AB=a，在直角梯形ACEF中，EF∥12AC，∠ECA=90°，已知二面角E-AC-B是直二面角．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）求多面体ABC

Question

（2014•绵阳三模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=(1)/(2)AB=a，在直角梯形ACEF中，EF∥(1)/(2)AC，∠ECA=90°，已知二面角E-AC-B是直二面角．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB的中点G，连结CG．由底面ABCD是梯形，知DC∥AG．
又∵DC=(1)/(2)AB=AG=a，
∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，
∴CG=(1)/(2)AB．
∴AC⊥BC．
又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ACEF．
∴BC⊥AF．…（6分）
（Ⅱ）连结DG交AC于H，连结FH．
∵平面ACEF⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知BC⊥面ACEF，DH∥BC，
∴DH⊥面ACEF．
即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．
在Rt△ACB中，AC＝√(4a2−a2)＝√(3)a，EF=(√(3))/(2)a．
由EF∥(1)/(2)AC∥CH，且∠ACE=90°，知四边形HCEF是矩形，
∴FH∥EC，于是FH⊥AH．
在Rt△FAH中，CE＝FH＝√(AF2−AH2)＝√(a2−((√(3))/(2)a)2)＝(1)/(2)a．
∴S四边形ACEF＝

作业帮用户 2016-12-16

问题解析

（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG，证明BC⊥AF，只需证明BC⊥平面ACEF，证明AC⊥BC，利用二面角E-AC-B是直二面角，即可证明；
（Ⅱ）连结DG交AC于H，连结FH，证明DH⊥面ACEF，利用V_D-ACEF+V_B-ACEF，求出多面体ABCDEF的体积．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题考查线面垂直，线线垂直，考查空间角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．

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