已知数列an满足a1=1,an-2a下标(n-1)-2*(n-1)=0,(n∈N*,n≥2)(1)求证：数列an/2*n是等差数列；（2）若数列an的前n项和为Sn,求Sn.

Question

已知数列an满足a1=1,an-2a下标(n-1)-2*(n-1)=0,(n∈N*,n≥2)
(1)求证：数列an/2*n是等差数列；
（2）若数列an的前n项和为Sn,求Sn.

Answer 1

答：
数列A1=1,An-2A(n-1) -2^(n-1)=0
1）
An-2A(n-1)=2^(n-1)
两边同时除以2^n得：
An /2^n -A(n-1) /2^(n-1)=2^(-1)=1/2
所以：数列{An /2^n}是等差数列,公差d=1/2
2）
根据1）可以知道,{An /2^n}是公差为d=1/2,首项A1 /2=1/2的等差数列
所以：
An /2^n=A1 /2 +(n-1)d=1/2+(n-1)*(1/2)=n/2
所以：
An=(n/2)*(2^n)=n*2^(n-1)
Sn=A1+A2+...+An=1*2^0+2*2^1+3^2^2+4*2^3+..;..+n*2^(n-1)
两边同时乘以2：
2Sn=1*2^1+2*2^2+3^2^3+4*2^4+..;..+n*2^n
以上两式错位相减（同次数项相减）得：
-Sn=1+2^1+2^2+2^3+.+2^(n-1) -n*2^n
=(2^n -1) /(2-1) -n*2^n
=2^n -1-n*2^
所以：
Sn=(n-1)*2^n +1