设x1、x2是区间D上的任意两点，若函数y=f(x)满足f(成立则称函数y=f(x)在区间D上下凸.(1)证明函数f(x)=x+在区间(0+∞)上下凸.(2)若函数y=f(x)在区间D上下凸则对任意的x1x2…

Question

设x ₁ 、x ₂ 是区间D上的任意两点，若函数y=f(x)满足f( 成立 则称函数y=f(x)在区间D上下凸.

(1)证明函数f(x)=x+ 在区间(0 +∞)上下凸.

(2)若函数y=f(x)在区间D上下凸 则对任意的x ₁ x ₂ … x _n ∈D 有 .试根据下凸倒数的这一性质 证明若x ₁ x ₂ … x _n ∈(0 +∞) 则(x ₁ +x ₂ +…+x _n ) ≥n ² .

(文)已知S _n 是等比数列{a _n }的前n项和 且a ₃ a ₉ a ₆ 成等差数列 问:S ₃ S ₉ S ₆ 是否成等差数列?

Answer 1

答案：(理)证明:(1)设x ₁ ＞0 x ₂ ＞0 则f( )- ［f(x ₁ )+f(x ₂ )］

=

= = = ≤0

∴f( )≤ ［f(x ₁ )+f(x ₂ )］.由定义可知f(x)=x+ 在区间(0 +∞)上下凸.

(2)由(1)可知f(x)=x+ 在(0 +∞)上下凸

根据性质 有

∴ .

∵x ₁ x ₂ … x _n ∈(0 +∞) ∴x ₁ +x ₂ +…+x _n ＞0.

上述可化为(x ₁ +x ₂ +…+x _n ) ≥n ² .

(文)由a ₃ a ₉ a ₆ 成等差数列，可得a ₃ +a ₆ =2a ₉ 即a ₁ q ² +a ₁ q ⁵ =2a ₁ q ⁸ .

∵a ₁ q ² ≠0 ∴1+q ³ =2q ⁶ .

当q≠1时，S ₃ +S ₆ = =2S ₉

∴S ₃ S ₉ S ₆ 成等差数列.

当q=1时，S ₃ +S ₆ =3a ₁ +6a ₁ =9a ₁ 而2S ₉ =18a ₁ .

∵a ₁ ≠0 ∴S ₃ +S ₆ ≠2S ₉ .∴S ₃ S ₉ S ₆ 不成等差数列.

综合 得当q≠1时，S ₃ S ₉ S ₆ 成等差数列，当q=1时，S ₃ S ₉ S ₆ 不成等差数列.