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四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点,顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形.(1)我们知道:无论四边形ABCD怎样变化,它的中点四边形EFGH都是平行四边
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四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点,顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形.
(1)我们知道:无论四边形ABCD怎样变化,它的中点四边形EFGH都是平行四边形.特殊的:
①当对角线AC=BD时,四边形ABCD的中点四边形为___形;
②当对角线AC⊥BD时,四边形ABCD的中点四边形是___形.
(2)如图:四边形ABCD中,已知∠B=∠C=60°,且BC=AB+CD,请利用(1)中的结论,判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明.
(1)我们知道:无论四边形ABCD怎样变化,它的中点四边形EFGH都是平行四边形.特殊的:
①当对角线AC=BD时,四边形ABCD的中点四边形为___形;
②当对角线AC⊥BD时,四边形ABCD的中点四边形是___形.
(2)如图:四边形ABCD中,已知∠B=∠C=60°,且BC=AB+CD,请利用(1)中的结论,判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)①连接AC、BD,
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点,
∴EH∥BD,FG∥BD,
∴EH∥FG,
同理EF∥HG,
∴四边形EFGH都是平行四边形,
∵对角线AC=BD,
∴EH=EF,
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形;
②当对角线AC⊥BD时,EF⊥EH,
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形;
(2)四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形.理由如下:
分别延长BA、CD相交于点M,连接AC、BD,
∵∠ABC=∠BCD=60°,
∴△BCM是等边三角形,
∴MB=BC=CM,∠M=60°,
∵BC=AB+CD,
∴MA+AB=AB+CD=CD+DM
∴MA=CD,DM=AB,
在△ABC和△DMB中,
,
∴△ABC≌△DMB,
∴AC=DB,
∴四边形ABCD的对角线相等,中点四边形EFGH是菱形.
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点,
∴EH∥BD,FG∥BD,
∴EH∥FG,
同理EF∥HG,
∴四边形EFGH都是平行四边形,
∵对角线AC=BD,
∴EH=EF,
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形;
②当对角线AC⊥BD时,EF⊥EH,
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形;
(2)四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形.理由如下:
分别延长BA、CD相交于点M,连接AC、BD,
∵∠ABC=∠BCD=60°,
∴△BCM是等边三角形,
∴MB=BC=CM,∠M=60°,
∵BC=AB+CD,
∴MA+AB=AB+CD=CD+DM
∴MA=CD,DM=AB,
在△ABC和△DMB中,
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∴△ABC≌△DMB,
∴AC=DB,
∴四边形ABCD的对角线相等,中点四边形EFGH是菱形.
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