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如图,已知AE与BD相交于点C,AB=AC,DE=DC,M、N、P分别是BC、CE、AD的中点.求证:(1)AD=2PM;(2)PM=PN.
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/29381f30e924b89940427cba6d061d950a7bf632.jpg)
(1)AD=2PM;
(2)PM=PN.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∵M是BC中点,
∴AM⊥BC,
∵P是RT△AMD斜边上中点,
∴AD=2PM;
(2)找到AC中点H,连接HP,HM,找到CD中点G,连接GP,GN,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f603918fa0ec08faac7e16255aee3d6d55fbda32.jpg)
则MH是AB边中位线,HP是CD边中位线,PG是AC边上中位线,GN是DE边上中位线,
∴MH=
AB,HP=
CD,PG=
AC,GN=
DE,
MH∥AB,HP∥CD,PG∥AC,GN∥DE,
∵AB=AC,DC=DE,
∴HM=PG,HP=NG,
∴∠CHM=∠BAC,∠PHC=∠DCE,∠NGC=∠CDE,∠PGC=∠ACB,
∵AB=AC,DC=DE,∠ACB=∠DCE,
∴∠BAC=∠CDE,∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC,
∴∠PHM=∠NGP,
在△PHM和△NGP中,
,
∴△PHM≌△NGP(SAS),
∴PM=PN.
∴△ABC是等腰三角形,
∵M是BC中点,
∴AM⊥BC,
∵P是RT△AMD斜边上中点,
∴AD=2PM;
(2)找到AC中点H,连接HP,HM,找到CD中点G,连接GP,GN,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f603918fa0ec08faac7e16255aee3d6d55fbda32.jpg)
则MH是AB边中位线,HP是CD边中位线,PG是AC边上中位线,GN是DE边上中位线,
∴MH=
1 |
2 |
1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
MH∥AB,HP∥CD,PG∥AC,GN∥DE,
∵AB=AC,DC=DE,
∴HM=PG,HP=NG,
∴∠CHM=∠BAC,∠PHC=∠DCE,∠NGC=∠CDE,∠PGC=∠ACB,
∵AB=AC,DC=DE,∠ACB=∠DCE,
∴∠BAC=∠CDE,∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC,
∴∠PHM=∠NGP,
在△PHM和△NGP中,
|
∴△PHM≌△NGP(SAS),
∴PM=PN.
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