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如图,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.(Ⅰ)证明:AE∥平面BDF;(Ⅱ)点M为CD上的任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并
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如图,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.
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(Ⅰ)证明:AE∥平面BDF;
(Ⅱ)点M为CD上的任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
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(Ⅰ)证明:AE∥平面BDF;
(Ⅱ)点M为CD上的任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:连接AC交BD于O,连接OF,如图
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在△ACE中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴O为AC的中点,又F为EC的中点,
∴OF∥AE,又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,
∴AE∥平面BDF.
(Ⅱ) 当P为AE中点时,有PM⊥BE,
证明如下:取BE中点H,连接DP,PH,CH,
如图![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1f178a82b9014a9076310dfbaf773912b31bee6d.jpg)
∵P为AE的中点,H为BE的中点,
∴PH∥AB,又AB∥CD,∴PH∥CD,
∴P,H,C,D四点共面.
∵平面ABCD∥平面BCE,CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,
∴CD⊥BE∵BC=CE,H为BE的中点,
∴CH⊥BE,
∴BE⊥平面DPHC,又PM⊂平面DPHC,
∴BE⊥PM即PM⊥BE.
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在△ACE中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴O为AC的中点,又F为EC的中点,
∴OF∥AE,又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,
∴AE∥平面BDF.
(Ⅱ) 当P为AE中点时,有PM⊥BE,
证明如下:取BE中点H,连接DP,PH,CH,
如图
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∵P为AE的中点,H为BE的中点,
∴PH∥AB,又AB∥CD,∴PH∥CD,
∴P,H,C,D四点共面.
∵平面ABCD∥平面BCE,CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,
∴CD⊥BE∵BC=CE,H为BE的中点,
∴CH⊥BE,
∴BE⊥平面DPHC,又PM⊂平面DPHC,
∴BE⊥PM即PM⊥BE.
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