p为素数,证明f(x)=x^p+px+1,在Q上不可约

Question

p为素数,证明f(x)=x^p+px+1,在Q上不可约

Answer 1

说说明这个命题是错的
比如p=2 f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2
在Q上是可约的
如果条件改为p奇质数那么有f(x)必有0点.
而f'(x)=px^(p-1)+p=p(1+x^(p-1))>0
所以有且仅有一个实0点.
设f(t)=0,t实数,只需要证明,t不为有理数
f(-1)=-p f(0)=1有
-1若t= -m/n m,n为互素正整数,且m那么代入有 m^p+pmn^(p-1)-n^p=0
这说明m,n必然是一奇一偶.
这是因为,同为偶与互素矛盾,同为奇数的话,左=奇数=右=0,矛盾
两边模掉p,由费马小定理有
m-n=0 (mod p)
由于一奇一偶,所以左为奇,右为偶,矛盾
所以t不能为有理数
证毕