已知x，y，z为正数，满足x2+y2+z2=1，则S＝1+z2xyz的最小值为．

Question

已知x，y，z为正数，满足x²+y²+z²=1，则S＝(1+z)/(2xyz)的最小值为______．

Answer 1

由题意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
∴z（1-z）≤((z+1−z)/(2))2=(1)/(4)（当且仅当z=1-z即z=(1)/(2)时取等号）
∵x²+y²+z²=1
∴1-z²=x²+y²≥2xy（当且仅当x=y时取等号）
∴(1−z2)/(2xy)≥1即((1−z)(1+z))/(2xy)≥1
∵1-z＞0
∴(1+z)/(2xy)≥(1)/(1−z)
∴(1+z)/(2xyz)≥(1)/(z(1−z))≥4（当且仅当x=y=(√(6))/(4)，z=(1)/(2)时取等号）
则S＝(1+z)/(2xyz)的最小值4
故答案为：4