已知函数f（x）=2a2lnx-x2（常数a＞0）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（1，e2）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Question

已知函数f（x）=2a²lnx-x²（常数a＞0）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（1，e²）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=2lnx-x²，
∴f′（x）=(2)/(x)-2x．∴f′（1）=0．…（3分）
又∵f（1）=-1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+1=0．…（4分）
（3）∵f（x）=2a²lnx-x²，∴f′（x）=(−2(x−a)(x+a))/(x)．
∵x＞0，a＞0，∴当0＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，a]上是增函数，在[a，+∞）上是减函数．…（7分）
∴f（x）_max=f（a）=a²（2lna-1），…（8分）
讨论函数f（x）的零点情况如下．
①a²（2lna-1）＜0，即0＜a＜√(e)时，函数f（x）无零点，在（1，e²）上也无零点；…（9分）
②当a²（2lna-1）=0，即a=√(e)时，函数f（x）在（0，+∞）内有唯一零点a，而1＜a＜e²，∴f（x）在（1，e²）内有一个零点；…（10分）
③当a²（2lna-1）＞0，即a＞√(e)时，
由于f（1）=-1＜0，f（a）=a²（2lna-1）＞0．f（e²）=（2a-e²）（2a+e²），
当2a-e²＜0时，即√(e)＜a＜(e2)/(2)时，1＜√(e)＜a＜(e2)/(2)＜e²，f（e²）＜0，由单调性可知，函数f（x）在（1，a）内有唯一零点x₁、在（a，e²）内有唯一零点x₂满足，∴f（x）在（1，e²）内有两个零点；         …（11分）
当2a-e²≥0时，即a≥(e2)/(2)＞

作业帮用户 2017-11-03

问题解析

（1）求导数，可得切线的斜率，求出切点坐标，可得切线方程；
（2）f（x）在（0，a]上是增函数，在[a，+∞）上是减函数，可得f（x）_max=f（a）=a²（2lna-1），分类讨论，结合函数的单调性，从而确定函数f（x）在区间（1，e²）上零点的个数．

名师点评

本题考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．

考点点评：

本题主要考查了利用导数研究函数的切线方程，考查函数的单调区间，考查函数的零点个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．

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