已知函数g（x）=a-x3（1e≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．

Question

已知函数g（x）=a-x³（ (1)/(e)≤x≤e ， e为自然对数的底数）与h（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

由已知，得到方程a-x³=-3lnx⇔-a=3lnx-x³在[(1)/(e)，e]上有解．
设f（x）=3lnx-x³，求导得：f′（x）=(3)/(x)-3x²=(3(1-x3))/(x)，
∵(1)/(e)≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（(1)/(e)）=-3-(1)/(e3)，f（e）=3-e³，f（x）_极大值=f（1）=-1，
且知f（e）<f（(1)/(e)），
故方程-a=2lnx-x²在上有解等价于3-e³≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e³-3]．
故答案为：[1，e³-3]．