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已知函数f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71828…).(Ⅰ)当a=e时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性(Ⅲ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71828…).
(Ⅰ)当a=e时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性
(Ⅲ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)当a=e时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性
(Ⅲ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ) 当a=e时,f(x)=ex-ex-e,f'(x)=ex-e,
当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.
所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-e,函数f(x)无极大值.
(Ⅱ)f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a,
当a≤0时,f′(x)>0,则f(x)在R上单调递增;
当a>0时,令f′(x)=ex-a=0,得x=lna,
则在(-∞,lna]上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增;
(Ⅲ)由f(x)=ex-ax-a,f'(x)=ex-a,
若a<0,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x趋近于负无穷大时,f(x)趋近于负无穷大;
当x趋近于正无穷大时,f(x)趋近于正无穷大,
故a<0不满足条件.
若a=0,f(x)=ex≥0恒成立,满足条件.
若a>0,由f'(x)=0,得x=lna,
当xlna时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=lna处取得极小值f(lna)=elna-a•lna-a=-a•lna,
由f(lna)≥0得-a•lna≥0,
解得0综上,满足f(x)≥0恒成立时实数a的取值范围是[0,1].
当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.
所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-e,函数f(x)无极大值.
(Ⅱ)f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a,
当a≤0时,f′(x)>0,则f(x)在R上单调递增;
当a>0时,令f′(x)=ex-a=0,得x=lna,
则在(-∞,lna]上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增;
(Ⅲ)由f(x)=ex-ax-a,f'(x)=ex-a,
若a<0,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x趋近于负无穷大时,f(x)趋近于负无穷大;
当x趋近于正无穷大时,f(x)趋近于正无穷大,
故a<0不满足条件.
若a=0,f(x)=ex≥0恒成立,满足条件.
若a>0,由f'(x)=0,得x=lna,
当x
所以函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=lna处取得极小值f(lna)=elna-a•lna-a=-a•lna,
由f(lna)≥0得-a•lna≥0,
解得0综上,满足f(x)≥0恒成立时实数a的取值范围是[0,1].
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