为什么实数与数轴上的向量一一对应?

Question

为什么实数与数轴上的向量一一对应?

Answer 1

问的好,这个问题涉及到实数理论.即实数的紧性或稠密性.数轴是紧的,不会有断口,那么假如实数也是这样,您的问题就解决了.这里介绍戴德金分割：把所有的有理数分为两个集合,A和B, A中的每一个元素都小于B中的每一个元素,任何一种分类方法称为有理数的一个分割.
对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:
1.A有一个最大元素a,B没有最小元素.例如A是所有≤1的有理数,B是所有>1的有理数.
2.B有一个最小元素b,A没有最大元素.例如A是所有<1的有理数.B是所有≥1的有理数.
3.A没有最大元素,B也没有最小元素.例如A是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,B是所有平方大于2的正有理数.
显然A和B的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数.注:：A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中,与A和B的并集是所有的有理数矛盾.
第3种情况,戴德金称这个分割为定义了一个无理数,或者简单的说这个分割是一个无理数.
前面2种情况中,分割是有理数.
这样,所有可能的分割构成了数轴上的每一个点,既有有理数,又有无理数.