已知函数f（x）=ln（x+a）+1−a−xax+a2，（a＞0）；（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若y=f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=1时方程f（x）=k（k＞0）存在两个异号实根x1，

Question

已知函数f（x）=ln（x+a）+(1−a−x)/(ax+a2)，（a＞0）；
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若y=f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=1时方程f（x）=k（k＞0）存在两个异号实根x₁，x₂；求证：x₁+x₂＞0，其中[（ln（-x+1））′=(−1)/(−x+1)]．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=ln（x+a）+(1−a−x)/(ax+a2)，（a＞0），
∴当a=1时，f（x）=ln（x+1）+(−x)/(x+1)，（x＞-1），
∴f′（x）=(1)/(x+1)+(−1)/((x+1)2)=(x)/((x+1)2)．
∴当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴y=f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴[f（x）]_min=f（0）=0．
（Ⅱ）∵函数f（x）=ln（x+a）+(1−a−x)/(ax+a2)，（a＞0），
∴f′（x）=(1)/(x+a)+(−1)/(a(x+a)2)=(x+a−(1)/(a))/((x+a)2)，
∴当x∈(−a，−a+(1)/(a))时，f′（x）＜0；当x∈(−a+(1)/(a)，+∞)时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在(−a，−a+(1)/(a))上单调递减，在(−a+(1)/(a)，+∞)上单调递增，
∴[f（x）]_min=f（-a+(1)/(a)）=ln(1)/(a)+1-(1)/(a)．
∵y=f（x）有两个零点，
∴ln(1)/(a)+1-(1)/(a)＜0，
令h（a）=ln(1)/(a)+1-(1)/(a)．
h′(a)＝(1)/(a2)−(1)/(a)=(1−a)/(a2)，
∴当a∈（0，1）时，h′（x）＞0；当a∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
∴函数h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∵h（1）=0，
∴a∈（0，1）时，h（a）＜0；当a∈（1，+∞）时，h（a）＜0，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
（Ⅲ）当a=1时，由（Ⅰ）知：方程f（x）-k=0必在两个异号实根x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂，
∴f（x₁）-k=0，f（x₂）-k=0，
当x∈（-1，0）时，设g（x）=[f（x）-k]-[f（-x）-k]=ln（x+1）+(−x)/(x+)-ln（-x+1）-(x)/(−x+1)，
∴g′（x）=(x)/((x+1)2)-(x)/((x−1)2)=(−4x2)/((x+1)2(x−1)2)≤0，
∴当x∈（-1，0）时，y=g（x）为减函数，
∵g（0）=0，
∴当x∈（-1，0）时，g（x）＞0，
∵-1＜x₁＜0，
∴g（₁）＞0，
∴[f（x₁）-k]-[f（x₂）-k]＞0，
∴[f（x₁）-k]＜[f（x₂）-k]，
∴f（-x₁）＜f（x₂），
∵-x₁∈（0，1），x₂∈（0，+∞），y=g（x）在（0，+∞）为增函数；
∵-x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＞0．