互换行列式中的任意两行（列）,行列式变号D1为对换i,j两行之后的行列式D1=∑（-1）tb1p1…bipi…bjpj…bnpn=∑（-1）ta1p1…ajpi…aipj…anpn=∑（-1）ta1p1…aipj…ajpi…anpn其中1…i…j…n为自然排列,

Question

互换行列式中的任意两行（列）,行列式变号
D1为对换i,j两行之后的行列式
D1=∑（-1）t b1p1…bipi…bjpj…bnpn
=∑（-1）t a1p1…ajpi…aipj…anpn
=∑（-1）t a1p1…aipj…ajpi…anpn
其中1…i…j…n为自然排列,t为排列p1…pi…pj…pn的逆序数.设排列p1…pi…pj…pn的逆序数为t1,则（-1）t = -（-1）t1
故D1= - ∑（-1）t1 a1p1…aipj…ajpi…anpn=-D(就是这一步直接让我莫名其妙,之前的都懂）
如果D1=-D,反过来推就是说D=∑（-1）t1 a1p1…aipj…ajpi…bnpn
但是没对换之前的原始行列式D=∑（-1）t a1p1…aipi…ajpj…bnpn
问题就在这里,t1和t的奇偶性不一样（因为其中两个元素的位置对换了）,那么（-1）t和（-1）t1的结果就不一样,这两个一个如果是+1,那另一个就是-1.另外,上面有下划线的是四个完全不同的元素（aipj,ajpi,aipi,ajpj）,虽然其他的元素都一样,但是每一项最终乘积的结果显然是不一样的啊（虽然我不确定n个乘积的结果如何）.也就是说不仅前面正负号不一致,后面的所有元素这个我真的是理解不了啊.

Answer 1

看你写了那么多 .
这样,抛开你的思路,跟我走走看
D1=∑(-1)^t(p1...pi...pj...pn) b1p1…bipi…bjpj…bnpn
=∑(-1)^t(p1...pi...pj...pn) a1p1…ajpi…aipj…anpn
=∑(-1)^t(p1...pi...pj...pn) a1p1…aipj…ajpi…anpn
至此,没问题
但这种写法不符合行列式的定义,即逆序数不是列标排列的逆序数
那么,交换 pi 与 pj 的位置就是列标的排列了
注意 奇偶性改变,所以
=∑(-1)^t(p1...pj...pi...pn) *(-1) a1p1…aipj…ajpi…anpn
= - ∑(-1)^t(p1...pj...pi...pn) a1p1…aipj…ajpi…anpn
这就符合了行列式定义的记法,故
= - D