若f（x）、g（x）在[a，b]上连续，且g（x）不变号，证明存在c∈[a，b]，使得∫baf（x）g（x）dx=f（c）∫bag（x）dx．

Question

若f（x）、g（x）在[a，b]上连续，且g（x）不变号，证明存在c∈[a，b]，使得

∫

b a

f（x）g（x）dx=f（c）

∫

b a

g（x）dx．

Answer 1

证明：由于f（x）在[a，b]上连续，因此由最值定理，得存在M₁和M₂，使得M₁≤f（x）≤M₂
∴M1

∫

b a

g(x)dx≤

∫

b a

f(x)g(x)dx≤M2

∫

b a

g(x)dx
又g（x）不变号，不妨设g（x）>0，x∈[a，b]
因此

∫

b a

g（x）dx>0
∴M1≤(∫baf(x)g(x)dx)/(∫bag(x)dx)≤M2
再由介值定理，知对任意属于[M₁，M₂]的(∫baf(x)g(x)dx)/(∫bag(x)dx)值，必存在c∈[a，b]，使得f（x）=(∫baf(x)g(x)dx)/(∫bag(x)dx)
即

∫

b a

f（x）g（x）dx=f（c）

∫

b a

g（x）dx．