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已知k为实数,对于实数a和b定义运算“*”:a*b=a2-kab,a≤bb2-kab,a>b,设f(x)=(2x-1)*(x-1).(Ⅰ)若f(x)在[-12,12]上为增函数,求实数k的取值范围;(Ⅱ)已知k>12,且当x>0时

题目详情
已知k为实数,对于实数a和b定义运算“*”:a*b=
a2-kab,a≤b
b2-kab,a>b
,设f(x)=(2x-1)*(x-1).
(Ⅰ)若f(x)在[-
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2
1
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]上为增函数,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)已知k>
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,且当x>0时,f(f(x))>0恒成立,求k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f(x)=(2x-1)*(x-1)
=
2(2-k)x2+(3k-4)x+1-k,x≤0
(1-2k)x2+(3k-2)x+1-k,x>0

若f(x)在[-
1
2
1
2
]上为增函数,
则当-
1
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≤x≤0时,f(x)的导数4(2-k)x+3k-4≥0恒成立,
当0<x≤
1
2
时,f(x)的导数2(1-2k)x+3k-2≥0恒成立.
即有
-2(2-k)+3k-4≥0
3k-4≥0
1-2k+3k-2≥0
3k-2≥0
即为
k≥
8
5
k≥
4
3
k≥1
k≥
2
3

解得k≥
8
5

(Ⅱ)由k>
1
2
,且当x>0时,
当x=1时,f(1)=1-2k+3k-2+1-k=0,
f(0)=1-k,
当k≥1时,f(0)≤0,
由当x>0时,f(f(x))>0恒成立,
则k≤1.
1
2
<k<1时,当f(x)≤0时,抛物线开口向上,且f(x)>f(0)=1-k,
均有f(f(x))>f(1-k)>0,
当f(x)>0,则抛物线开口向下,且f(x)<f(0)=1-k,
均有f(f(x))>f(1-k)>0.
则有k的取值范围为(
1
2
,1].