若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a>0）存在公共切线，则实数a的取值范围为．

Question

若二次函数f（x）=x²+1的图象与曲线C：g（x）=ae^x+1（a>0）存在公共切线，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

f（x）=x²+1的导数为f′（x）=2x，g（x）=ae^x+1的导数为g′（x）=ae^x，
设公切线与f（x）=x²+1的图象切于点（x₁，x₁²+1），
与曲线C：g（x）=ae^x+1切于点（x₂，ae^x₂+1），
∴2x₁=ae^x₂=(aex2+1-(x12+1))/(x2-x1)=(aex2-x12)/(x2-x1)，
化简可得，2x₁=(2x1-x12)/(x2-x1)，得x₁=0或2x₂=x₁+2，
∵2x₁=ae^x₂，且a>0，∴x₁>0，则2x₂=x₁+2>2，即x₂>1，
由2x₁=ae^x₂，得a=(2x1)/(ex2)=(4(x2-1))/(ex2)，
设h（x）=(4(x-1))/(ex)（x>1），则h′（x）=(4(2-x))/(ex)，
∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
∴h（x）_max=h（2）=(4)/(e2)，
∴实数a的取值范围为（0，(4)/(e2)]，
故答案为：（0，(4)/(e2)]．