已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0，则实数a的取值范围为．

Question

已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x²+2xy+y²-ax-ay+1≥0，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

因为正实数x，y满足x+y+4=2xy，而4xy≤（x+y）²，代入原式得（x+y）²-2（x+y）-8≥0，解得（x+y）≥4或（x+y）≤-2（舍去）
由x²+2xy+y²-ax-ay+1≥0可得a（x+y）≤（x+y）²+1，即a≤x+y+(1)/(x+y)
令t=x+y∈[4，+∞），
则问题转化为a≤t+(1)/(t)，
因为函数y=t+(1)/(t)在[4，+∞）递增，
所以y_min=4+(1)/(4)=(17)/(4)，
所以a≤(17)/(4)
故答案为：（-∞，(17)/(4)]．