求证:log以n为底（n+1）的对数＞log以（n+1）为底（n+2）的对数

Question

求证:log以n为底（n+1）的对数＞log以（n+1）为底（n+2）的对数

Answer 1

设n∊N,n≧1；求证:log‹n›(n+1)＞log‹n+1›(n+2)
证明：log‹n›(n+1)-log‹n+1›(n+2)=[lg(n+1)]/(lgn)-[lg(n+2)]/[lg(n+1)]
=[lg²(n+1)-(lgn)lg(n+2)]/[(lgn)lg(n+1)].(1)
我们来确定这个分式的符号.由于分母(lgn)lg(n+1)>0,故分式的符号取决于分子的符号.
因为n+1=[n+(n+2)]/2>√[n(n+2)]【两个正数的算术平均值大于其几何平均值】
∴对上式两边取对数得：lg(n+1)>(1/2)[lgn+lg(n+2)],即有：
2lg(n+1)>lgn+lg(n+2)>2√[(lgn)lg(n+2)]【用基本不等式：a+b>2√ab(a≠b,故不带等于号)】
∴lg(n+1)>√[(lgn)lg(n+2)],即有lg²(n+1)>(lgn)lg(n+2)；
也就是lg²(n+1)-(lgn)lg(n+2)>0,代入(1)式即得：
log‹n›(n+1)-log‹n+1›(n+2)=[lg²(n+1)-(lgn)lg(n+2)]/[(lgn)lg(n+1)]>0
故log‹n›(n+1)＞log‹n+1›(n+2)