设等差数列{an}满足sin2a4cos2a7-sin2a7cos2a4sin(a5+a6)=1，公差d∈（-1，0），当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A.(7π6，4π3)B.[7π6，4π3]C.（4π3，3

Question

设等差数列{a_n}满足

(sin2a4cos2a7-sin2a7cos2a4)/(sin(a5+a6))=1，公差d∈（-1，0），当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，求该数列首项a₁的取值范围（　　）

A. (

(7π)/(6)，(4π)/(3))

B. [

(7π)/(6)，(4π)/(3)]

C. （

(4π)/(3)，(3π)/(2)）

D. f（x）

Answer 1

∵等差数列{a_n}满足(sin2a4cos2a7-sin2a7cos2a4)/(sin(a5+a6))=1，
∴（sina₄cosa₇-sina₇cosa₄）（sina₄cosa₇+sina₇cosa₄）
=sin（a₅+a₆）=sin（a₄+a₇）=sina₄cosa₇+sina₇cosa₄，
∴sina₄cosa₇-sina₇cosa₄=1，或sina₄cosa₇+sina₇cosa₄=0
即sin（a₄-a₇）=1，或sin（a₄+a₇）=0（舍）
当sin（a₄-a₇）=1时，
∵a₄-a₇=-3d∈（0，3），a₄-a₇=2kπ+(π)/(2)，k∈Z，
∴-3d=2kπ+(π)/(2)，d=-(π)/(6)-(2k)/(3)π．
∴d=-(π)/(6)
∵S_n=na₁+(n(n-1)d)/(2)=(d)/(2)n²+（a₁-(d)/(2)）n，
且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴8.5<-(a1-(d)/(2))/(2×(d)/(2))<9.5，
∴(4)/(3)π<a₁<(3π)/(2)
故选：C