求一曲线,使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线所围成的梯形面积等于常数3a*2,且过点(1,a*2).

Question

求一曲线,使其任意点的切线与二坐标轴和过切点且平行于纵轴的直线所围成的梯形面积等于常数3a*2,且过点(1,a*2).

Answer 1

设某一点(x0,y0),并假设y=f(x)在x0局部存在
切线y=y0+f'(x0)(x-x0)
与x轴交点x0-y0/f'(x0)
由题意知这个面积=1/2*|y0|*|y0/f'(x0)|=3a^2
于是y^2=6a^2 |f'(x)|是f的一个微分方程
由于曲线是C1的我们知道绝对值可以拿掉换成1或-1
解得xy=Cy-6a^2
带入(1,a^2)
C=7
所以f: xy=7y-6a^2