已知动点P（x，y）与定点F（1，0）满足条件：以PF为直径的圆恒与纵轴相切．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设A，B是轨迹C上的两点，已知点M（-1，m）满足MA⊥MB，求△MAB的面积的最小

Question

已知动点P（x，y）与定点F（1，0）满足条件：以PF为直径的圆恒与纵轴相切．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A，B是轨迹C上的两点，已知点M（-1，m）满足MA⊥MB，求△MAB的面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，动点P（x，y）与定点F（1，0）满足条件：以PF为直径的圆恒与纵轴相切，
∴x+1=√((x-1)2+y2)，
化简可得y²=4x，即为动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=ky+b，与y²=4x，联立消去y得y²-4ky-4b=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4b，
由MA⊥MB得（x₁+1，y₁-m）•（x₂+1，y₂-m）=0，
∴（b-1）²+（2k-m）²=0
∴b=1，k=(1)/(2)m，
∴x=(1)/(2)my+1，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4，
∴|AB|=√(1+(1)/(4)m2)•√(4m2+16)=m²+4，
点M（-1，m）到直线的距离d=(|-2-(1)/(2)m2|)/(√(1+(1)/(4)m2))=√(m2+4)
△MAB的面积S=(1)/(2)|AB||d|=(1)/(2)√((m2+4)3)
∴m=0，△MAB的面积的最小值为4．