定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a(12)x+(14)x，g（x）=log121

Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a((1)/(2))x+((1)/(4))x，g（x）=log(1)/(2)(1−ax)/(x−1)．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[(5)/(3)，3]上的所有上界构成的集合；
（3）若函数g（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数g（x）为奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即log(1)/(2)(1+ax)/(−x−1)=-log(1)/(2)(1−ax)/(x−1)．，
即(1+ax)/(−x−1)＝(x−1)/(1−ax)，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=-1．…（4分）
（2）由（1）得：g（x）=log(1)/(2)(1+x)/(x−1)，
∵函数g（x）=log(1)/(2)(1+x)/(x−1)在区间（1，+∞）上单调递增，
∴函数g（x）=log(1)/(2)(1+x)/(x−1)在区间[(5)/(3)，3]上单调递增，
∴函数g（x）=log(1)/(2)(1+x)/(x−1)在区间[(5)/(3)，3]上的值域为[-2，-1]，
∴|g（x）|≤2，
故函数g（x）在区间[(5)/(3)，3]上的所有上界构成集合为[2，+∞）．…（8分）
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，
∴-4-((1)/(4))x≤a((1)/(2))x≤2-((1)/(4))x，
∴-4•2^x-((1)/(2))x≤a≤2•2^x-((1)/(2))x在[0，+∞）上恒成立．  …（10分）
设t=2^x，t≥1，h（t）=-4t-(1)/(t)，p（t）=2t-(1)/(t)，
则h′（t）=-4+(1)/(t2)＜0，p′（t）=2+

作业帮用户 2017-11-12

问题解析

（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数a的值；
（2）求出函数g（x）=log(1)/(2)(1+x)/(x−1)在区间[(5)/(3)，3]上的值域为[-2，-1]，结合新定义，即可求得结论；
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得-4•2^x-((1)/(2))x≤a≤2•2^x-((1)/(2))x在[0，+∞）上恒成立，换元，求出左边的最大值，右边的最小值，即可求实数a的取值范围．

名师点评

本题考点：

函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．

考点点评：

本题考查了与函数性质有关的新定义问题，考查了换元法求函数的值域，综合性强，涉及知识面广，难度较大．

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