函数f(x)=mx|x-a|-|x|+1若a=1试讨论其零点个数

Question

函数f(x)=mx|x-a|-|x|+1若a=1试讨论其零点个数

Answer 1

f(x)=mx|x-1|-|x|+1
f(x)=mx(1-x)+x+1=-mx²+(m+1)x+1 x≤0
f(x)=mx(1-x)-x+1=-mx²+(m-1)x+1 0≤x≤1
f(x)=mx(x-1)-x+1=mx²-(m+1)x+1 x≥0
m=0,f(x)=-|x|+1,有2零点x₀=±1
∴x≤0段① 零点x₀=[-(m+1)±√(m²+6m+1)]/2m
m²+6m+1=0→m=-3±2√2 m=-3-2√2 x₀<0,有1零点
m|m+1|>0,[-(m+1)±√(m²+6m+1)]/2m<0,有2零点
-3-2√2-3-2√20,无零点
∴-3-2√2m>0,[-(m+1)-√(m²+6m+1)]/2m>0,只有1零点
0≤x≤1段② 零点x₀=[(m-1)±|(m+1)|]/2m
m≥-1，x₀=[(m-1)±(m+1)]/2m=1或(-1/m)
m=-1,1零点,-11，1零点，m>0,-1/m<0，1零点
∴m≥-1,1零点
m x≥0段③ 零点x₀=[(m+1)±|m-1|]/2m
m≥1，x₀=[(m+1)±(m-1)]/2m=1或(-1/m)
∵-1/m<0 ∴ 1零点
0m<0,x₀=1/m<0,∴ 1零点
综上：m m=-3-2√2,①1零点，②2零点，③1零点，共4个零点
-3-2√2 -1≤m<0, ①0零点，②1零点，③1零点，共2个零点
m=0, 共2个零点
0 m≥1, ①1零点，②1零点，③1零点，共3个零点