若直线l经过定点P(1,4),且它在坐标轴上截距都为正值……若直线l经过定点P(1,4),且它在坐标轴上截距都为正值,同时截距之和最小,求直线l的方程?

Question

若直线l经过定点P(1,4),且它在坐标轴上截距都为正值……
若直线l经过定点P(1,4),且它在坐标轴上截距都为正值,同时截距之和最小,求直线l的方程?

Answer 1

设直线在x轴上的截距是a,在y轴上的截距是b
则直线的截距式方程是：x/a+y/b=1
因为直线过点P(1,4),代入得
1/a+4/b=1,所以有
a+b
=(a+b)×1
=(a+b)(1/a+4/b)
=1+(b/a)+(4a/b)+4
=5+[(b/a)+(4a/b)]
=5+2√[(b/a)(4a/b)]
=5+4
=9
即a+b的最小值是9,当b/a=4a/b,b=2a时取最小值
此时,1/a+4/(2a)=1,a=3,b=6
直线的截距式方程是：x/3+y/6=1
化为一般式是：2x+y-6=0