已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为-1,求n->∞lim[1+f(1+1/n)]^n

Question

已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为-1,求n->∞lim[1+f(1+1/n)]^n

Answer 1

“曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线在y轴上的截距为-1”提供给我们的信息是：f(1)=0；f(x)在点(1,0)处可导,且导数为f'(1)=(0-(-1) )/(1-0)=1
则n->∞lim[1+f(1+1/n)]^n
=e^ lim n·ln[1+f(1+1/n)]
=e^ lim n·f(1+1/n) 【等价无穷小代换：x→0时,ln(1+x)～x】
令t=1/n,则n→∞时t→0
原式=e^ lim(t→0) f(1+t) / t
=e^ lim(t→0) 1×f(1+t) / 1 【洛比达法则】
=e^ f'(1)
=e