如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=3，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P-A1B-C的平面角的余弦值．

Question

如图，在直三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上．
（1）求证：BC⊥A₁B；
（2）若AD=√(3)，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P-A₁B-C的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴A₁A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A₁A⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，且BC⊂平面A₁BC，
∴AD⊥BC．又AA₁⊂平面A₁AB，AD⊂平面A₁AB，A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AB，
又A₁B⊂平面A₁BC，∴BC⊥A₁B．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A₁AB，AB⊂平面A₁AB，从而BC⊥AB，
如图，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上，
∴AD⊥A₁B．
在Rt△ABD中，AD=√(3)，AB=2，
sin∠ABD=(AD)/(AB)=(√(3))/(2)，∠ABD=60°，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，A₁A⊥AB．
在Rt△ABA₁中，AA₁=AB•tan60°=2√(3)，
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），
P（1，1，0），A₁（0，2，2√(3)），

BP

＝(1，1，0)，

BA1 

=（0，2，2

作业帮用户 2017-10-28

问题解析

（Ⅰ）由已知得A₁A⊥平面ABC，A₁A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A₁B．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A₁AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角P-A₁B-C的平面角的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：

本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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