已知集合p=﹛x|1≤x≤3﹜,函数y=以二为底(ax^2-2x+3)的对数的定义域为Q1.若p∩Q≠空集,求a的取值范围2.若上方程等于二,在[1,3]内有解,求实数a的取值范围3.若p包含于Q,求a的取值范围

Question

已知集合p=﹛x|1≤x≤3﹜,函数y=以二为底(ax^2-2x+3)的对数的定义域为Q
1.若p∩Q≠空集,求a的取值范围
2.若上方程等于二,在[1,3]内有解,求实数a的取值范围
3.若p包含于Q,求a的取值范围

Answer 1

（1）分类讨论：
①当a=0 时,ax^2-2x+3=-2x+3＞0,x＜3／2,与1≤x≤3有交集；
②当a＞0时,ax²-2x+3＞0,即x²-2x／a+3／a＞0,设f（x）=x²-2x／a+3／a
此时,对称轴x=1／a＞0,Δ=（4-12a）／a²
1）当Δ＜0时,a＞1／3,x∈R,即p∩Q≠空集；
2）当Δ＝0时,a=1／3,要使f（x）=x²-2x／a+3／a=（x-3）²＞0,则x≠3, 此时 ,p∩Q≠空集；
3）当Δ＞0时,0＜a＜1／3,此时对称轴x=1／a＞3,f（1）=1+1／a＞0,故此时p∩Q≠空集；
③当a＜0时,ax²-2x+3＞0,即x²-2x／a+3／a＜0,设g（x）=x²-2x／a+3／a
此时,对称轴x=1／a＜0,开口方向向上,要使p∩Q≠空集,则g（1）＜0,即a＞-1；

综上所述,若p∩Q≠空集,则a的取值范围为a∈（-1,＋∞）
（2）若y=log2（ax²-2x+3）=2,则ax²-2x+3=4,即ax²-2x-1=0,设m（x）=ax²-2x-1,分类讨论如下：
①当a=0时,m（x）=-2x-1=0,x=-1／2,不在[1,3]内,舍去；
②当a＜0时,对称轴x=1／a＜0,m（0）=-1＜0,不合题意,舍去；
③当a＞0时,对称轴x=1／a＞0,则m（1）≦0,且f（3）≧0,求得,7／9≦a≦3；
综上所述,a的取值范围为a∈[7／9,3]
（3）设n（x）=ax²-2x+3,n（x）＞0；
当a=0时,n（x）=-2x+3＞0,即x＜3／2,不合题意,舍去；
当a＞0时,对称轴x=1／a＞0,此时,n（1）≥0或n（3）≥0,求得,a≥-1或a≥1／3,即a≥1／3；
当a＜0时,对称轴x=1／a＜0,开口方向向下,此时,n（3）＞0,求得,a＞1／3,与a＜0矛盾,舍去；
综上所述,若使p包含于Q,则a∈[1／3,＋∞﹚