设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当f0（x）∈M时，f

Question

设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当f ₀ （x）∈M时，f ₁ （x）=f ₀ （x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f ₀ （x），得M ₁ ={f ₀ （x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M ₁ ，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？

Answer 1

（1）证明：假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，
即F（a，b）=acosx+bsinx与F（c，d）=ccosx+dsinx相同，
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．
特别令x=0，得a=c；
令x= (π)/(2) ，得b=d．
这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，
假设不成立．
故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当f ₀ （x）∈M时，
可得常数aa ₀ ，b ₀ ，使f ₀ （x）=a ₀ cosx+b ₀ sinx，
f ₁ （x）=f ₀ （x+t）=a ₀ cos（x+t）+b ₀ sin（x+t）
=（a ₀ cost+b ₀ sint）+（b ₀ cost-a ₀ sint）sinx．
由于a ₀ ，b ₀ ，t为常数，
设a ₀ cost+b ₀ sint=m，b ₀ cost-a ₀ sint=n，
则m，n是常数．
从而f ₁ （x）=f ₀ （x+t）∈M．
（3）设f ₀ （x）∈M，
由此得f ₀ （x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=a ₀ cost+b ₀ sint，n=b ₀ cost-a ₀ sint）
在映射F下，f ₀ （x+t）的原象是（m，n），
则M ₁ 的原象是
{（m，n）|m=a ₀ cost+b ₀ sint，n=b ₀ cost-a ₀ sint，t∈R}，
消去t得m ² +n ² =a ₀ ² +b ₀ ² ，
即在映射F下，M ₁ 的原象{（m，n）|m ² +n ² =a ₀ ² +b ₀ ² }是以原点为圆心，

a 0 2 + b 0 2

为半径的圆．