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如图,正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线,分别交AB、AC于B1、C1.将△AB1C1沿B1C1折起到△A1B1C1的位置,使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M.求:(1)二面角A1-B1C1-M的
题目详情
如图,正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线,分别交AB、AC于B1、C1.将△AB1C1沿B1C1折起到△A1B1C1的位置,使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M.求:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9922720e0cf3d7ca20dee9c7f11fbe096b63a953.jpg)
(1)二面角A1-B1C1-M的大小;
(2)异面直线A1B1与CC1所成角的大小.(用反三角函数表示)
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(1)二面角A1-B1C1-M的大小;
(2)异面直线A1B1与CC1所成角的大小.(用反三角函数表示)
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AM、A1G.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df3d7ca7bcb0a46af0a5d886863f6246b60af53.jpg)
∵G是正三角形ABC的中心,且M为BC的中点,
∴A、G、M三点共线,AM⊥BC.
∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥AM于点G,
即GM⊥B1C1,GA1⊥B1C1.
∴∠A1GM是二面角A1-B1C1-M的平面角.
∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M,
∴A1M⊥MG,∠A1MG=90°.
在Rt△A1GM中,由A1G=AG=2GM,得∠A1GM=60°,
即二面角A1-B1C1-M的大小是60°.
(2)过B1作C1C的平行线交BC于点P,
则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角.
由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP,
PM=BM-BP=
,A1B1=AB1=2.
∵A1M⊥面BB1C1C于点M,
∴A1M⊥BC,∠A1MP=90°.
在Rt△A1GM中,A1M=A1G•sin60°=
•
=
.
在Rt△A1MP中,A1P2=A1M2+PM2=(
)2+(
)2=
.
在△A1B1P中,由余弦定理得
cos∠A1B1P=
=
=
,
∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df3d7ca7bcb0a46af0a5d886863f6246b60af53.jpg)
∵G是正三角形ABC的中心,且M为BC的中点,
∴A、G、M三点共线,AM⊥BC.
∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥AM于点G,
即GM⊥B1C1,GA1⊥B1C1.
∴∠A1GM是二面角A1-B1C1-M的平面角.
∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M,
∴A1M⊥MG,∠A1MG=90°.
在Rt△A1GM中,由A1G=AG=2GM,得∠A1GM=60°,
即二面角A1-B1C1-M的大小是60°.
(2)过B1作C1C的平行线交BC于点P,
则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角.
由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP,
PM=BM-BP=
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∵A1M⊥面BB1C1C于点M,
∴A1M⊥BC,∠A1MP=90°.
在Rt△A1GM中,A1M=A1G•sin60°=
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在Rt△A1MP中,A1P2=A1M2+PM2=(
3 |
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在△A1B1P中,由余弦定理得
cos∠A1B1P=
A1B12+B1P2−A1P2 |
2•A1B1•B1P |
22+12−
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2•2•1 |
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∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
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