如图，设A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形且AF1中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

Question

如图，设A为y轴上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，△AF₁F₂为正三角形且AF₁中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

Answer 1

∵F₁，F₂是椭圆的两个焦点，
△AF₁F₂为正三角形且AF₁中点B恰好在椭圆上，
∴|BF₁|=(1)/(2)|F₁F₂|=c，且∠F1BF2 =90°，
∴|BF₂|=√((2c)2−c2)=√(3)c，
由椭圆定义知：|BF₁|+|BF₂|=2a，
即c+√(3)c=2a，
∴c=(2)/(√(3)+1)a=（√(3)−1）a，
∴e=(c)/(a)=√(3)−1．