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在正四棱锥S-ABCD中,侧面与底面所成角为,则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为()A.5B.C.10D.
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在正四棱锥S-ABCD中,侧面与底面所成角为,则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为( )
A.5
B.
C.10
D.
A.5
B.
C.10
D.
▼优质解答
答案和解析
【答案】分析:由题意通过侧面与底面所成角为,设出正四棱锥的底面边长,求出斜高,侧棱长,求出内切球的半径与正四棱锥底面边长的关系;利用外接球的球心与正四棱锥的高在同一条直线,结合勾股定理求出,外接球的半径与底面边长的关系,即可得到比值.由于侧面与底面所成角为,可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形,设底面边长为a,则斜高也为a,进而可得侧棱长为 ,高为四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为,其外接球球心必在顶点与底面中心连线上,半径为R,球心为O,顶点为P,底面中心为O1,底面一个顶点为B,则OB=OP,于是就有:(-R)2+()2=R2 解得R=.所以两者的比为:.故选D点评:本题是中档题,考查学生的空间想象能力,计算能力推理能力.求出球的半径与正三棱柱的底面边长的关系,是本题的关键.
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