如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B1在底面上的射影D落在BC上．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）当α为何

Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B ₁ 在底面上的射影D落在BC上．
（1）求证：AC⊥平面BB ₁ C ₁ C；
（2）当α为何值时，AB ₁ ⊥BC ₁ ，且使点D恰为BC中点？
（3）（理科做）当α=arccos (1)/(3) ，且AC=BC=AA ₁ 时，求二面角C ₁ -AB-C的大小．

Answer 1

（1）证明：∵B ₁ D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴B ₁ D⊥AC
又∵BC⊥AC，B ₁ D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB ₁ C ₁ C；
（2）∵B ₁ D⊥面ABC，
∴B ₁ D⊥AC，
又∵AC⊥BC，BC∩B ₁ D=D，
∴AC⊥面BB ₁ C ₁ C．
∵AB ₁ ⊥BC ₁ ，
∴由三垂线定理可知，B ₁ C⊥BC ₁ ，即平行四边形BB ₁ C ₁ C为菱形，
又∵B ₁ D⊥BC，且D为BC的中点，
∴B ₁ C=B ₁ B，即△BB ₁ C为正三角形，
∴∠B ₁ BC=60°，
∵B ₁ D⊥面ABC，且点D落在BC上，
∴∠B ₁ BC即为侧棱与底面所成的角，
∴α=60°．
（3）C ₁ 作C ₁ E⊥BC，垂足为E，则C ₁ E⊥平面ABC． 过E作EF⊥AB，垂足为F，由三垂线定理得C ₁ E⊥AB．
∴根据二面角平面角的定义可得：∠C ₁ FE是所求二面角C ₁ -AB-C的平面角．
设AC=BC=A ₁ A=a，
在Rt△CC ₁ E中，由∠C ₁ CE=α=arccos (1)/(3) ，可得C ₁ E= (22)/(3) a，
∴在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF= (2)/(2) BE= (22)/(3) a，
∴∠C ₁ FE=45°．
故所求的二面角C ₁ -AB-C为45°．