在菱形ABCD中,AB=4,角BAD=120°,以A为顶点的△AEF为正三角形.且E在BC上,F在C主要是第二问过程.

Question

在菱形ABCD中,AB=4,角BAD=120°,以A为顶点的△AEF为正三角形.且E在BC上,F在C
主要是第二问过程.

Answer 1

第一问你已明白就不多说了.
（2）为了方便运算我们用S1,S2,S3,S4,S5,S6分别代表四边形ABCD,四边形AECF,三角形CEF,三角形AEF,三角形ABE,三角形ADF的面积.则有以下关系S2=S1-(S5+S6),S3=S2-S4,所以欲求S2需求S5与S6,欲求S3需求S2与S4.那么我们先来求S2,S5,S6.
过点A分别作BC,CD的垂线AM,AN,垂足分别为M,N,则易证AM=AN=AB*sin∠B=2√3(AB=AD,∠B=∠D=60°)
S5=(1/2)(AM*BE）=（1/2)（AM*CF)=(1/2)[AM*(CD-DF)]=(1/2)(AM*CD)-(1/2)(AM*DF)
S6=(1/2)(AN*DF)=(1/2)(AM*DF)
所以S2=S1-(S5+S6)=AB^2*sin∠B-[(1/2)（AM*CD)-(1/2)(AM*DF)+(1/2)(AM*DF)]=AB^2*sin∠B-(1/2)(AB^2*sin∠B)=4√3
现在来求S3,S4
在三角形ABE中由正弦定理可得AE=AB*sin∠B/sin∠AEB(如果不知正弦定理可求AM与AE的关系,就可得AB与AE的关系）则S4=(1/2)(AE^2*sin∠EAF)=(1/2)[(AB*sin∠B/sin∠AEB)^2*sin∠EAF]=3√3/(sin∠EAF)^2
S3=S2-S4=4√3-3√3/(sin∠EAF)^2≤4√3-3√3/(sin90°）^2=√3
所以四边形AECF的面积恒值为4√3,
三角形CEF的面积是变量当AE⊥BC(或AF⊥CD)或BE=CE时有最大值√3
以上只是简解,具体过程自己组织.特别注意的是要写S3是随着什么的变化而变化的