如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的正三角形，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PC=10（1）求PC与面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角P-BC-A的平面角的大小；（3）平面

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的正三角形，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PC=√(10)
（1）求PC与面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角P-BC-A的平面角的大小；
（3）平面PBC与平面PAD交于直线l，画出直线l，并判断直线l与直线BC的关系．

Answer 1

（1）如图，∵在四棱锥P-ABCD中，
平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的正三角形，
四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PC=√(10)，
∴以D为原点，DA为x轴，过点D垂直BC的直线为y轴，
过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（1，0，√(3)），C（-1，√(3)，0），
∴

PC

=（-2，√(3)，-√(3)），B（1，√(3)，0），
面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
设PC与平面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

作业帮用户 2017-11-12

问题解析

（1）以D为原点，DA为x轴，过点D垂直BC的直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与面ABCD所成角的正弦值．
（2）分别求出平面PBC的法向量和平面BCA的法向量，利用向量法能求出二面角P-BC-A的平面角的大小．
（3）过点A作AQ∥DP，过P作PQ∥AD，交AQ于点Q，直线PQ就是直线l，由此能判断l∥BC．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．

考点点评：

本题考查空间点、线、面位置关系，考查二面角、空间向量及坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论能力，考查用向量方法解决问题能力．

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