第一题：在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为3/2,那么b=?第二题：△ABC中,A=60°,且最大边与最小边是方程3x平方-27x+32=0的两个实数根,求边BC的长?第三题：已知A,B

Question

第一题：在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为3/2,那么b=?第二题：△ABC中,A=60°,且最大边与最小边是方程3x平方-27x+32=0的两个实数根,求边BC的长?第三题：已知A,B,C是△ABC的三个内角,且满足（sinA+sinB）平方-(sinC)平方=3sinAsinB,求证A+B=120°第四题：在△ABC中,若(bsinC)平方+(csinB)平方=2bccosBcosC,试判断三角形的形状

Answer 1

第一题：SΔABC=acsin30º/2=1/2 ∴2ac=4
cosB=(a²+c²-b²)/2ac=[(a+c)²-2ac-b²]/2ac=(3b²-2ac)/2ac
∴√3/2=(3b²-4)/4
∴3b²-4=2√3==>b²=(√3+1)²/3
∴b=√3/3+1
第二题：在△ABC中A+B+C=180°
cosA=cos60°=1/2
A的外角=180°-A=2A=B+C=120°
C的外角=A+B=60°+B
根据在三角形内部大角对大边,小角对小边
设另外两边为b,c
因最大边与最小边的长是方程3x²-27x+32=0的两个根
根据韦达定理有
b+c=27/3=9
bc=32/3
根据余弦定理有
a²=b²+c²-2bc×cosA
=b²+c²-2bc×cos60°
=b²+c²-bc
=b²+c²+2bc-3bc
=(b+c)²-3bc
=9²-3×32/3
=81-32=49
a²=49
a=7
根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
sinA=sin60°=√3/2
a/sinA=7/sin60°=7/√3/2=14√3/3=2R
R= 7√3/3
3x²-27x+32=0
第三题：
(sinA+sinB)^2-sin^2C=3sinAsinB,
sin^2A+sin^2B-sin^2C=sinAsinB,
sinA/sinB+sinB/sinA-(sinC/sinA)(sinC/sinB)=1,
正弦定理a/b+b/a-(c/a)(c/b)=1,
a^2+b^2-c^2=ab
余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2,C=60°
第四题：
根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
sinC/c=sinB/b
b²sin²C+c²sin²B=2bccosBcosC
bsinC/c+csinB/b=2cosBcosC
bsinB/b+csinC/c=2cosBcosC
sinB+sinC=2cosBcosC
根据三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和
即a=ccosB+bcosC
a²=(ccosB+bcosC)²
=c²cos²B+b²cos²C+2bccosBcosC
=c²cos²B+b²cos²C+b²sinC+c²sinB
=c²(cos²B+sinB)+b²(cos²C+sinC)
三角形ABC是任意三角形
当b²sin²C+c²sin²B=2bccosBcosC
根据三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和
即a=ccosB+bcosC
a²=(ccosB+bcosC)²
=c²cos²B+b²cos²C+2bccosBcosC
=c²cos²B+b²cos²C+b²sin²C+c²sin²B
=c²(cos²B+sin²B)+b²(cos²C+sin²C)
=c²+b²
三角形ABC是直角三角形