（2012•浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2

Question

（2012•浙江）如图，F₁，F₂分别是双曲线C：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF₂|=|F₁F₂|则C的离心（　　）

A．(2√(3))/(3)
B．(√(6))/(2)
C．√(2)
D．√(3)

Answer 1

|OB|=b，|O F₁|=c．∴k_PQ=(b)/(c)，k_MN=-(c)/(b)．
直线PQ为：y=(b)/(c) （x+c），两条渐近线为：y=±(b)/(a)x．
由

y＝(b)/(c)(x+c)

y＝(b)/(a)x

，得Q（(ac)/(c−a)，(bc)/(c−a) ）；由

y＝(b)/(c)(x+c)

y＝−(b)/(a)x

得P((−ac)/(c+a)，(bc)/(c+a))．
∴直线MN为y−(bc2)/(c2−a2)＝−(c)/(b)(x−(a2c)/(c2−a2))，
令y=0得：x_M=c(1+(a2)/(b2))．
又∵|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴3c=x_M=c(1+(a2)/(b2))，
∴3a²=2c²
解之得：e2＝(3)/(2)，即e=(√(6))/(2)．
故选B．