已知椭圆C：(a>b>0)的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和．(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；(3)如图，过原点相互垂直的

Question

已知椭圆C：(a>b>0)的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；
(3)如图，过原点相互垂直的两条直线与椭圆的四个交点构成四边形PRSQ，设直线PS的倾斜角为，试问：ΔPSQ能否为正三角形，若能求θ的值，若不能，说明理由．

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Answer 1

【分析】(1)根据椭圆的性质，可知焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入，即可得出a，b的值，求出椭圆的方程．
(2)利用弦长公式计算即可，注意设而不求思想的运用．
(3)先假设：ΔPSQ能为正三角形，设直线PS的方程，则直线RQ的方程也可知，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PS与OQ的长度，再根据正三角形中的关系判断即可．

(1)由题意得，解得
所求的方程为；
(2)直线方程为，
代入椭圆方程得，
∴，
由弦长公式求得；
(3)当P在y轴上，Q在x轴上时，ΔPSQ不是正三角形．
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P(x₁，kx₁)，则直线RQ的斜率为，
由得(1)，同理(2)
由ΔPSQ为正三角形，得，即3|OP|²=|OQ|²
∴，化简得，
∴，即．
∴ΔOPQ不是正三角形．

【点评】本题主要考察了椭圆性质的应用，弦长公式的应用，以及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系判断中的应用